На рисунке изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Для определения принадлежности точки многоугольнику существует простой и эффективный метод, основанный на подсчёте числа пересечений луча, проведённого из точки, с границей многоугольника. Этот подход называется методом пересечения луча. Вот как это сделать:

Шаг 1: Проведение луча

Выберите произвольный луч, начинающийся в заданной точке. Обычно выбирают горизонтальный луч, направленный вправо от точки.

Шаг 2: Подсчёт пересечений

Посчитайте, сколько раз этот луч пересекает стороны многоугольника. Пересечение учитывается, если луч пересекает отрезок, образующий сторону многоугольника.

• Если точка лежит на границе многоугольника, то пересечение с этой стороной произойдёт. В этом случае сразу можно утверждать, что точка принадлежит многоугольнику.
• Если точка не на границе, то пересечение учитывается только тогда, когда луч пересекает отрезок, а не проходит вдоль него.

Шаг 3: Проверка на чётность

• Если число пересечений чётное, то точка находится вне многоугольника.
• Если число пересечений нечётное, то точка находится внутри многоугольника.

Особые случаи

1. Если луч проходит точно через вершину многоугольника, можно считать, что он "касается" одной из сторон и считать пересечение только один раз.
2. Если одна из сторон многоугольника лежит вдоль луча, важно убедиться, что пересечение учитывается корректно. Обычно, пересечение с горизонтальной стороной включается только для одной из её вершин, чтобы избежать двойного счёта.

Почему это работает?

Метод основан на свойствах простых замкнутых многоугольников. Луч, проходя через границу многоугольника, каждый раз "входит" или "выходит" из внутренней области. Нечётное количество пересечений означает, что точка оказалась внутри, чётное — что точка снаружи.

Преимущества метода

• Прост в реализации на практике.
• Подходит для любых замкнутых многоугольников, даже если они имеют сложную форму.

Если использовать программные средства, алгоритм легко автоматизировать, например, на основе расчётов с использованием векторов и проверок пересечений отрезков.