Докажите что меридеана равностароннего треугольника меньше его стороны

Докажем, что медиана равностороннего треугольника меньше его стороны.

Исходные данные

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны $a$. Пусть медиана $AM$ проведена из вершины $A$ к середине $M$ стороны $BC$.

Длина медианы в треугольнике

Медиана треугольника может быть найдена с помощью формулы:

где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $m$ — длина медианы.

В равностороннем треугольнике все стороны равны ($a = b = c$). Поэтому формула упрощается:

Доказательство неравенства

Теперь сравним длину медианы $AM$ с длиной стороны $a$:

Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, очевидно, что $m < a$, так как коэффициент $\frac{\sqrt{3}}{2}$ меньше 1.

Геометрическое обоснование

Интуитивно длина медианы меньше стороны треугольника, так как медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. При этом она проходит внутри треугольника и, следовательно, не может быть длиннее одной из его сторон.

Вывод

Таким образом, медиана равностороннего треугольника действительно меньше его стороны, что подтверждается как расчетом, так и геометрическим соображением.