Напишите уравнение плоскости,проходящей через точки А(2,-6,4) В (1,-5,3) С (-2,8,5)
Ответ: 3х+у-2z+8=0

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки $A(2, -6, 4)$, $B(1, -5, 3)$ и $C(-2, 8, 5)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Находим два вектора, лежащих в плоскости

Для этого возьмём векторы, соединяющие точки A, B и C. Это можно сделать с помощью вычитания координат точек:

• Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, -5 - (-6), 3 - 4) = (-1, 1, -1)$
• Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 2, 8 - (-6), 5 - 4) = (-4, 14, 1)$

2. Находим нормальный вектор плоскости

Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. Векторное произведение двух векторов $\mathbf{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y}, v_{1z})$ и $\mathbf{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y}, v_{2z})$ вычисляется по формуле:

Подставим значения для векторов $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, -1)$ и $\overrightarrow{AC} = (-4, 14, 1)$:

Вычислим детерминант:

• Коэффициент при $\hat{i}$: $(1 \cdot 1) - (-1 \cdot 14) = 1 + 14 = 15$
• Коэффициент при $\hat{j}$: $(-1 \cdot 1) - (-1 \cdot (-4)) = -1 - 4 = -5$
• Коэффициент при $\hat{k}$: $(-1 \cdot 14) - (1 \cdot (-4)) = -14 + 4 = -10$

Таким образом, нормальный вектор к плоскости: