1.) В треугольнике АВС ∠А = 30°, ∠С = 105°, ВС = 10 см. Найдите АС.

Чтобы найти сторону AC в треугольнике ABC, где ∠A = 30°, ∠C = 105° и BC = 10 см, мы можем использовать закон синусов. Закон синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла является постоянным для всех сторон и углов треугольника. Формула выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Где a, b и c — это стороны треугольника, а A, B и C — противоположные этим сторонам углы.

В нашем случае нам известны углы A (30°) и C (105°), а также сторона BC (10 см). Угол B можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

$B = 180° - A - C = 180° - 30° - 105° = 45°$

Теперь мы можем применить закон синусов для нахождения длины стороны AC. Пусть AC = a, тогда:

$\frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin A}$ $\frac{10 см}{\sin 45°} = \frac{a}{\sin 30°}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно a:

$a = \frac{10 см \times \sin 30°}{\sin 45°}$

Синус 30° равен 0.5, а синус 45° равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:

$a = \frac{10 см \times 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Решим это уравнение, чтобы найти длину стороны AC.

Длина стороны AC в треугольнике ABC приблизительно равна 7.07 см. ​​