Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону BC в точке E. Найдите AC, если BC=24 см, а периметр треугольника AEC равен 30см.
Желательно с картинкой.

Для того чтобы решить задачу, рассмотрим треугольник ABC, где середина перпендикуляра к стороне AB пересекает сторону BC в точке E, и необходимо найти длину стороны AC, если известно, что длина BC равна 24 см, а периметр треугольника AEC равен 30 см.

Шаг 1: Определение данных

• Пусть $AB = x$ — длина стороны AB.
• $BC = 24 \, \text{см}$ — дано.
• $AC = y$ — длина стороны AC, которую нам нужно найти.
• Периметр треугольника AEC = 30 см, то есть: $$AE + EC + AC = 30.$$

Шаг 2: Свойства середины перпендикуляра

Поскольку середина перпендикуляра к стороне AB проходит через точку E, это означает, что точка E делит сторону BC пополам, то есть:

Шаг 3: Разделение периметра

Так как $EC = 12$ см, а $AE$ — это расстояние от точки A до перпендикуляра на AB (то есть, от точки A до линии, которая перпендикулярна AB), то можно записать периметр треугольника AEC:

Подставляем значение $EC = 12$:

Отсюда:

Шаг 4: Использование теоремы Пифагора в треугольнике AEC

Для дальнейшего решения нужно использовать геометрические соображения и теорему Пифагора, так как точка E — это перпендикуляр на сторону AB. Для нахождения $AE$, воспользуемся тем, что треугольник AEC является прямоугольным.

Из треугольника AEC:

Так как $EC = 12$, подставим в формулу:

Теперь у нас есть две уравнения:

1. $AE + AC = 18$,
2. $AE^2 + 144 = AC^2$.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим $AE$ через $AC$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Упростим:

Шаг 6: Ответ

Таким образом, длина стороны $AC = 13 \, \text{см}$.