Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е.Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ=18 см.С рисунком по подробнее

Решение задачи с рисунком

Дано:

• $AB = 18 \, \text{см}$
• $P_{\triangle AEC} = 27 \, \text{см}$ (периметр треугольника $AEC$).

Найти: длину основания $AC$ треугольника $\triangle ABC$.

1. Построение фигуры и анализ

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, где $AB = BC$.
2. Серединный перпендикуляр к $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Это означает, что $E$ — середина стороны $BC$, так как перпендикуляр в равнобедренном треугольнике является медианой.
3. Периметр $\triangle AEC$ равен $27 \, \text{см}$. Тогда: $$AC + AE + EC = 27.$$

2. Обозначения и предположения

• Пусть длина основания $AC = x$.
• Поскольку $AB = BC$, а точка $E$ — середина $BC$, длина $BE = EC = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}$.
• Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому $AE$ — высота треугольника $\triangle ABC$, проведённая к основанию $AC$.

3. Выражение для периметра

Из условия:

Подставляем известное значение $EC = 9$:

Упростим:

4. Использование свойств равнобедренного треугольника

Рассмотрим треугольник $\triangle AEC$:

• В равнобедренном треугольнике высота $AE$ делит основание $AC$ пополам.
• Следовательно, $AC$ можно выразить через $x$: $$AC = x, \quad EC = 9, \quad AE \text{ известно из формулы (1)}.$$

Теперь строим окончательное решение.

Итоговое выражение

На рисунке изображён равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором серединный перпендикуляр к $AB$ проходит через точку $E$, делящую основание $BC$ пополам.

Далее можно подставить известные значения в формулы для проверки:

1. $EC = 9 \, \text{см}$.
2. $AC + AE = 18$.

Решив систему, можно найти $AC$. ​​