Серединный перпендикуляр DE равнобедренного треугольника DEF (DE = EF) пересекает сторону DF в точке K. Найдите DF, если DE = 21, а периметр треугольника EKF равен 60.

Задача, по сути, основывается на свойствах равнобедренных треугольников и перпендикуляров, проведённых из вершины угла, а также на использовании периметра треугольника для нахождения неизвестных сторон.

1. Дано:

   • Треугольник DEF равнобедренный, то есть $DE = EF$.
   • Серединный перпендикуляр DE пересекает сторону DF в точке K.
   • $DE = 21$.
   • Периметр треугольника EKF равен 60.

2. Необходимо найти:

   • Длину стороны $DF$.

Анализ задачи:

• Так как треугольник DEF равнобедренный, то $DE = EF = 21$.
• Перпендикуляр DE разделяет сторону DF пополам, то есть точка K является серединой отрезка DF.
• Пусть длина стороны DF равна $x$. Так как точка K – середина DF, то длина отрезков $DK$ и $KF$ будет равна $\frac{x}{2}$.

3. Периметр треугольника EKF:

Периметр треугольника EKF равен сумме длин его сторон:

• $EF = 21$ (по условию задачи).
• $KF = \frac{x}{2}$, так как точка K делит DF пополам.
• Теперь осталось найти длину отрезка EK. Из геометрии известно, что середина перпендикуляра к основанию в равнобедренном треугольнике всегда является его высотой. Следовательно, отрезок EK — это высота треугольника DEF.

Для нахождения EK воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике DEK (где EK — высота, а DK — половина основания):

Подставим известные значения:

Отсюда получаем выражение для EK:

4. Подставим выражения в уравнение для периметра:

Упростим это уравнение:

Отсюда выражаем EK:

Теперь подставим это в уравнение для EK^2:

Раскроем скобки:

Теперь приравняем два выражения для $EK^2$:

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

Преобразуем уравнение:

Упростим:

Разделим на 2:

5. Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант:

Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет вещественных корней, и исходное предположение об идеальных значениях сторон или периметра должно быть проверено