Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке K. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 см, а периметры треугольников CDK и DEK равны 16 см и 18 см.

Для решения задачи давайте разобьем её на несколько этапов.

1. Обозначения и данные задачи: Пусть длины сторон прямоугольника $CDEF$ равны $a$ и $b$. То есть:

   • $CD = a$
   • $DE = b$

   Из условия известно, что:

   • Периметр прямоугольника равен 28 см, то есть:
   $$2a + 2b = 28 \quad \Rightarrow \quad a + b = 14$$
   • Периметры треугольников $CDK$ и $DEK$ равны соответственно 16 см и 18 см.

2. Периметры треугольников: Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Рассмотрим треугольник $CDK$:

   • Его стороны: $CD = a$, $DK$ и $CK$. Периметр треугольника $CDK$ равен 16 см:
   $$a + DK + CK = 16$$

   Аналогично для треугольника $DEK$:

   • Его стороны: $DE = b$, $DK$ и $EK$. Периметр треугольника $DEK$ равен 18 см:
   $$b + DK + EK = 18$$

3. Особенности диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника $CDEF$ пересекаются в точке $K$. Так как диагонали прямоугольника делят его пополам, то точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Это означает, что:

   • $CK = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$
   • $EK = \frac{1}{2} DE = \frac{b}{2}$

4. Подставим выражения для $CK$ и $EK$ в уравнения периметров:

   • Для треугольника $CDK$ имеем: $$a + DK + \frac{a}{2} = 16 \quad \Rightarrow \quad DK + \frac{a}{2} = 16 - a$$
   • Для треугольника $DEK$ имеем: $$b + DK + \frac{b}{2} = 18 \quad \Rightarrow \quad DK + \frac{b}{2} = 18 - b$$

5. Решим систему уравнений: Из этих двух уравнений можно выразить $DK$ через $a$ и $b$:

   • Из первого уравнения: $$DK = 16 - a - \frac{a}{2} = 16 - \frac{3a}{2}$$
   • Из второго уравнения: $$DK = 18 - b - \frac{b}{2} = 18 - \frac{3b}{2}$$

   Приравняем эти два выражения для $DK$:

   $$16 - \frac{3a}{2} = 18 - \frac{3b}{2}$$

   Упростим:

   $$\frac{3a}{2} - \frac{3b}{2} = -2$$

   Умножим обе части на 2:

   $$3a - 3b = -4 \quad \Rightarrow \quad a - b = -\frac{4}{3}$$

   Это уравнение не совсем подходит для нашей задачи.