Объем цилиндра равен 96 пи3 см3. площадь его осевого сечения 48 см2 . найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Для решения этой задачи, сначала нужно вспомнить несколько важных формул:

1. Объем цилиндра:

где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра:
   Площадь осевого сечения цилиндра равна прямоугольнику, длина которого $h$ (высота цилиндра), а ширина $2r$ (диаметр основания цилиндра). Таким образом, площадь осевого сечения $S$ равна:

3. Площадь поверхности сферы, описанной около цилиндра:
   Площадь поверхности такой сферы $S_{\text{сферы}}$ равна:

где $R$ — радиус сферы, который совпадает с радиусом основания цилиндра.

Теперь давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1. Используем данные из задачи.

Из условия задачи мы знаем:

• Объем цилиндра $V = 96 \pi \, \text{см}^3$.
• Площадь осевого сечения цилиндра $S = 48 \, \text{см}^2$.

Шаг 2. Найдем радиус $r$ и высоту $h$ цилиндра.

Используем формулы для объема и площади осевого сечения.

Из формулы для объема:

Из формулы для площади осевого сечения:

Теперь у нас есть система уравнений:

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $h$:

Подставим это в первое уравнение:

Теперь, зная $r = 4$, найдем $h$ из второго уравнения:

Шаг 3. Найдем радиус описанной сферы.

Радиус описанной сферы равен гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания цилиндра и высотой цилиндра. Гипотенуза $R$ равна:

Шаг 4. Найдем площадь поверхности сферы.

Теперь, зная радиус сферы $R = 2\sqrt{13}$, можем найти площадь её поверхности:

Таким образом, площадь поверхности сферы, описанной около цилиндра, равна $208\pi \, \text{см}^2$.