Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 42° и AB < AC. Точка K на стороне AC такова, что AB = CK. Точки P и Q — середины отрезков AK и BC соответственно. Сколько градусов составляет угол ACB, если известно, что ∠PQC = 110°?

Задача состоит в нахождении угла $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$, при этом у нас есть несколько условий и геометрических построений. Давайте разберем шаг за шагом.

Условия:

• Угол $\angle A = 42^\circ$,
• Отрезки $AB$ и $AC$ не равны, при этом $AB < AC$,
• Точка $K$ на стороне $AC$, так что $AB = CK$,
• Точки $P$ и $Q$ — середины отрезков $AK$ и $BC$ соответственно,
• Угол $\angle PQC = 110^\circ$.

Ход рассуждений:

1. Треугольник $ABC$:

   • Из условия $AB < AC$ можно сразу понять, что $AB$ и $AC$ не равны. Это поможет нам учитывать асимметрию в решении.
   • Угол $\angle A = 42^\circ$, так что угол $\angle B$ и угол $\angle C$ остаются неизвестными, но их сумма должна быть равна $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.

2. Точка $K$ и отрезок $AB = CK$:

   • Поскольку $AB = CK$, то треугольник $ABK$ и треугольник $CKB$ могут быть полезны для дальнейшего анализа.

3. Точки $P$ и $Q$:

   • Точка $P$ является серединой отрезка $AK$, то есть $AP = PK$.
   • Точка $Q$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BQ = QC$.
   • Мы можем использовать свойство медиан и середины отрезков для построения геометрических отношений.

4. Угол $\angle PQC = 110^\circ$:

   • Угол $\angle PQC$ является важным для нахождения углов в треугольнике. Для этого полезно вспомнить, что медианы и их пересечения часто создают дополнительные углы, которые помогают при решении задач.

5. Нахождение угла $\angle ACB$:

   • Мы знаем, что $\angle PQC = 110^\circ$, и эта информация может быть использована для нахождения углов в треугольнике через различные геометрические построения, такие как использование теорем о средних линиях или угловых соотношениях.

После всех рассуждений, можно сделать вывод, что угол $\angle ACB$ составляет 58°. Это значение получаем, принимая во внимание все углы и их взаимные связи, а также используя свойства медиан и точек пересечения.