На основании $МК$ равнобедренного треугольника $МВК$ отмечены точки $Т$ и $С$ так, что $МТ = КС$. Докажите, что:
a) $\triangle МВТ = \triangle КВС$;
б) $\triangle МВС$ — равнобедренный.

Давайте решим задачу поэтапно.

Условие задачи:

У нас есть равнобедренный треугольник МВК, на котором отмечены точки Т и С так, что МТ = КС. Нужно доказать два утверждения:

1. ΔМВТ = ΔКВС (треугольники МВТ и КВС равны);
2. ΔМВС — равнобедренный.

Шаг 1: Доказательство, что ΔМВТ = ΔКВС.

Для начала, давайте обозначим важные элементы и свойства треугольника МВК:

• Треугольник МВК — равнобедренный, следовательно, МВ = КВ (боковые стороны равны).
• Из условия задачи нам известно, что МТ = КС.

Теперь рассмотрим треугольники МВТ и КВС. Чтобы доказать их равенство, нужно показать, что у них совпадают все соответствующие стороны и углы.

1. Стороны:

   • В треугольнике МВТ стороны МВ и МТ.
   • В треугольнике КВС стороны КВ и КС.

   Поскольку МВ = КВ (по свойству равнобедренного треугольника) и МТ = КС (по условию задачи), то у нас есть два равных элемента — по одной стороне от каждой пары треугольников.

2. Углы:

   • Угол ∠МВТ равен углу ∠КВС, так как это углы при основании равнобедренного треугольника, то есть они совпадают (по свойству равнобедренного треугольника).

3. Третья сторона:

   • В обоих треугольниках есть общая сторона — сторона В. Это сторона, которая соединяет вершины В и Т, а также В и С.

Поскольку у нас есть по две равные стороны и равные углы, треугольники МВТ и КВС по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) равны.

Следовательно, ΔМВТ = ΔКВС.

Шаг 2: Доказательство, что треугольник ΔМВС — равнобедренный.

Теперь нужно доказать, что треугольник МВС является равнобедренным. Для этого достаточно показать, что в нем равны две стороны.

1. Из равенства треугольников МВТ и КВС (которые мы только что доказали) следует, что МТ = КС. То есть длины отрезков МТ и КС равны.

2. Поскольку точки Т и С лежат на одной прямой (они находятся на одной прямой отрезке МК), то отрезки МТ и КС равны, и у нас получается, что стороны МВ и КВ треугольника МВС тоже равны (поскольку это боковые стороны исходного равнобедренного треугольника МВК).

Таким образом, МВ = КВ, и треугольник МВС является равнобедренным.

Ответ:

1. ΔМВТ = ΔКВС.
2. ΔМВС — равнобедренный.