Решите уравнение: \(4^x + 2^x - 20 = 0\)

Для решения уравнения $4^x + 2^x - 20 = 0$ начнем с того, что выразим $4^x$ через $2^x$, так как $4 = 2^2$.

1. Перепишем $4^x$ в виде степени с основанием 2:

   $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$

   Тогда уравнение становится:

   $$2^{2x} + 2^x - 20 = 0$$

2. Введем замену $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = y^2$. Уравнение превращается в квадратное:

   $$y^2 + y - 20 = 0$$

3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -20$, дискриминант будет равен:

   $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$

4. Теперь находим корни квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$$

5. Теперь вернемся к переменной $y = 2^x$. Из этого получаем два случая:

   • $2^x = 4$, что означает $x = 2$,

   • $2^x = -5$, но $2^x$ всегда положительно для всех значений $x$, поэтому этот случай не имеет решения.

Таким образом, единственное решение уравнения $4^x + 2^x - 20 = 0$ — это $x = 2$.