Найти производную функции y=(x-2)^2(x-4)+5

Для нахождения производной функции $y = (x-2)^2(x-4) + 5$, используем правило дифференцирования произведения и основные правила дифференцирования.

1. Прежде чем приступить к дифференцированию, разобьем функцию на два множителя:

   $$y = \left( (x-2)^2 \right) (x-4) + 5$$

2. Теперь применим правило дифференцирования произведения двух функций. Пусть $u(x) = (x-2)^2$, а $v(x) = (x-4)$. Тогда производная функции $y$ по правилу произведения:

   $$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

3. Для вычисления производных $u'(x)$ и $v'(x)$, дифференцируем каждый из множителей.

   • Производная $u(x) = (x-2)^2$ по правилу цепочки:

     $$u'(x) = 2(x-2)$$

   • Производная $v(x) = (x-4)$:

     $$v'(x) = 1$$

4. Теперь подставим полученные производные в формулу для производной:

   $$y' = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2$$

5. Для упрощения раскроем скобки и приведем подобные:

   $$y' = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2$$

   Сначала раскроем скобки в $2(x-2)(x-4)$:

   $$2(x-2)(x-4) = 2(x^2 - 6x + 8) = 2x^2 - 12x + 16$$

   Теперь раскроем скобки в $(x-2)^2$:

   $$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$

6. Соберем все вместе:

   $$y' = (2x^2 - 12x + 16) + (x^2 - 4x + 4)$$

   Приводим подобные:

   $$y' = 3x^2 - 16x + 20$$

Ответ: производная функции $y = (x-2)^2(x-4) + 5$ равна $y' = 3x^2 - 16x + 20$.