Решите уравнение: 5^(2х+1) - 5^х = 4

Решим уравнение $5^{2x+1} - 5^x = 4$.

1. Начнем с того, что у нас есть выражение с экспонентами, в котором степень зависит от $x$. Попробуем упростить его. Для этого представим $5^{2x+1}$ как произведение двух степеней:

Таким образом, уравнение преобразуется в:

2. Введем замену. Пусть $y = 5^x$. Тогда $5^{2x} = (5^x)^2 = y^2$. Подставим эту замену в уравнение:

3. Получаем квадратное уравнение:

4. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

Здесь $a = 5$, $b = -1$, $c = -4$. Подставим значения:

5. Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

6. Теперь вернемся к переменной $x$. Помним, что $y = 5^x$. Из этого получаем два уравнения:

• $5^x = 1$,

• $5^x = -0.8$.

Для первого уравнения $5^x = 1$ решение очевидно: $x = 0$, так как $5^0 = 1$.

Для второго уравнения $5^x = -0.8$ нет решения, потому что $5^x$ всегда положительно для всех $x$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

7. Таким образом, единственное решение исходного уравнения — это $x = 0$.