а) x² - 2x - 3 > 0 б) x² + 4x + 5 < 0 в) x² - 6x + 9 > 0 решение через дискриминант!

Для решения данных неравенств с использованием дискриминанта, давайте поочередно решим каждый из них.

а) x² - 2x - 3 > 0

Для начала найдем дискриминант уравнения, получившегося из неравенства $x² - 2x - 3 = 0$.

• Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

• Дискриминант:

  $$D = b² - 4ac = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

• Корни уравнения:

  $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Неравенство $x² - 2x - 3 > 0$ означает, что парабола $y = x² - 2x - 3$ выше оси $x$ на интервалах, где значения функции больше нуля. Парабола имеет корни в точках $x = 3$ и $x = -1$, и так как коэффициент при $x²$ положителен, то парабола открывается вверх. Следовательно, неравенство выполнено на интервалах:

Ответ: $x < -1$ или $x > 3$.

б) x² + 4x + 5 < 0

Теперь решим неравенство $x² + 4x + 5 < 0$.

• Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 4$, $c = 5$.

• Дискриминант:

  $$D = b² - 4ac = 4² - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $x² + 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Парабола $y = x² + 4x + 5$ открывается вверх, и так как значение функции всегда больше нуля (для всех $x$), неравенство $x² + 4x + 5 < 0$ не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

в) x² - 6x + 9 > 0

Для неравенства $x² - 6x + 9 > 0$ решим уравнение $x² - 6x + 9 = 0$.

• Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.

• Дискриминант:

  $$D = b² - 4ac = (-6)² - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

• Корень уравнения:

  $$x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$$

Уравнение имеет один корень $x = 3$, и так как дискриминант равен нулю, парабола касается оси $x$ в этой точке. Парабола открывается вверх, и значение функции всегда неотрицательно. Неравенство $x² - 6x + 9 > 0$ выполнено для всех $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \neq 3$.