Решите уравнение √(x² + 16) = 3x - 4

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{x^2 + 16} = 3x - 4$, начнем с того, что сначала необходимо избавиться от квадратного корня.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат.

   $$\left(\sqrt{x^2 + 16}\right)^2 = (3x - 4)^2$$

   Получим:

   $$x^2 + 16 = (3x - 4)^2$$

2. Раскроем скобки в правой части.

   $$(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$$

   Таким образом, уравнение примет вид:

   $$x^2 + 16 = 9x^2 - 24x + 16$$

3. Переносим все элементы на одну сторону уравнения.

   $$x^2 + 16 - x^2 - 16 = 9x^2 - 24x$$

   Упростим:

   $$0 = 8x^2 - 24x$$

4. Вынесем общий множитель.

   $$0 = 8x(x - 3)$$

5. Решим полученное уравнение.
   Это уравнение имеет два корня:

   $$8x = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0$$

   Решения:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3$$

6. Проверим найденные корни.

   Для $x = 0$:
   Подставляем в исходное уравнение:

   $$\sqrt{0^2 + 16} = 3(0) - 4$$

   Получаем:

   $$\sqrt{16} = -4$$

   Это неверно, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Следовательно, $x = 0$ не является решением.

   Для $x = 3$:
   Подставляем в исходное уравнение:

   $$\sqrt{3^2 + 16} = 3(3) - 4$$

   Получаем:

   $$\sqrt{9 + 16} = 9 - 4$$ $$\sqrt{25} = 5$$

   Это верно, так как $\sqrt{25} = 5$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 3$.