Решите :х(х+1)/х-9>0

Рассмотрим неравенство:

Для его решения нам нужно определить, при каких значениях $x$ выражение будет больше нуля. Для этого сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Нули числителя: Числитель равен нулю, когда:

Решим это уравнение:

Таким образом, числитель равен нулю при $x = 0$ и $x = -1$.

2. Нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда:

Знаменатель равен нулю при $x = 9$. Это значение не может быть включено в область допустимых значений, потому что деление на ноль невозможно.

Теперь рассмотрим знаки выражения $\frac{x(x+1)}{x - 9}$ на различных промежутках числовой прямой, которые определяются корнями $x = -1$, $x = 0$ и $x = 9$. Нам нужно определить, где выражение положительно.

У нас есть следующие интервалы:

• $(-\infty, -1)$

• $(-1, 0)$

• $(0, 9)$

• $(9, +\infty)$

Для каждого интервала определим знак выражения.

• На интервале $(-\infty, -1)$: Пусть $x = -2$.

  $$\frac{(-2)(-2+1)}{-2-9} = \frac{(-2)(-1)}{-11} = \frac{2}{-11} < 0$$

  Знак отрицательный.

• На интервале $(-1, 0)$: Пусть $x = -0.5$.

  $$\frac{(-0.5)(-0.5+1)}{-0.5-9} = \frac{(-0.5)(0.5)}{-9.5} = \frac{-0.25}{-9.5} > 0$$

  Знак положительный.

• На интервале $(0, 9)$: Пусть $x = 1$.

  $$\frac{1(1+1)}{1-9} = \frac{1 \cdot 2}{-8} = \frac{2}{-8} < 0$$

  Знак отрицательный.

• На интервале $(9, +\infty)$: Пусть $x = 10$.

  $$\frac{10(10+1)}{10-9} = \frac{10 \cdot 11}{1} = 110 > 0$$

  Знак положительный.

Теперь, для того чтобы неравенство выполнялось, нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это происходит на интервалах $(-1, 0)$ и $(9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (9, +\infty)$.