Расстояние между двумя поселками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 часа быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 часа быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

Для решения задачи введем обозначения:

• Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода, а $v_2$ — скорость второго пешехода, обе в км/ч.

• Время, которое первый пешеход тратит на преодоление пути, равно $\frac{24}{v_1}$ часов, а время второго пешехода — $\frac{24}{v_2}$ часов.

• Из условия задачи известно, что первый пешеход преодолел путь на 2 часа быстрее второго, то есть:

  $$\frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2.$$

Теперь учтем условие, что при увеличении скорости первого пешехода на 2 км/ч и второго на 1 км/ч, первый пешеход будет двигаться на 2 часа быстрее второго. После увеличения скоростей время, которое тратит первый пешеход, будет равно $\frac{24}{v_1 + 2}$, а время второго пешехода — $\frac{24}{v_2 + 1}$. Тогда из второго условия задачи имеем:

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

1. $\frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2$,

2. $\frac{24}{v_2 + 1} - \frac{24}{v_1 + 2} = 2$.

Решим эту систему шаг за шагом.

Первое уравнение можно упростить, разделив на 24:

Перепишем его так:

Аналогично, во втором уравнении:

Решим эту систему.

1. Умножим первое уравнение на $v_1 v_2$:

   $$v_2 - v_1 = \frac{v_1 v_2}{12}.$$

2. Умножим второе уравнение на $(v_1 + 2)(v_2 + 1)$ для упрощения выражений:

   $$\ (v_2 + 1)(v_1 + 2) - v_1 v_2 = \frac{(v_1 + 2)(v_2 + 1)}{12}.$$