Решите уравнение \( х^3 + 4х^2 - 4х - 16 = 0 \).

Чтобы решить уравнение $x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0$, начнем с попытки выделить общий фактор или применить методы разложения на множители.

1. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Теорема утверждает, что возможные рациональные корни – это делители свободного члена (в данном случае -16) на делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Свободный член –16. Делители 16: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$.

Так как старший коэффициент равен 1, делители старшего коэффициента — это $\pm 1$.

Таким образом, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$.

2. Подставим эти значения поочередно в уравнение и проверим, какое из них является корнем.

Проверим $x = -2$:

Подставим $x = -2$ в уравнение:

Таким образом, $x = -2$ является корнем уравнения.

3. Разделим исходное уравнение на $x + 2$ с использованием деления многочленов.

Для этого делим $x^3 + 4x^2 - 4x - 16$ на $x + 2$. Деление многочленов выполняется следующим образом:

Делим $x^3$ на $x$, получаем $x^2$. Умножаем $x^2$ на $x + 2$:

Вычитаем из исходного многочлена:

Делим $2x^2$ на $x$, получаем $2x$. Умножаем $2x$ на $x + 2$:

Вычитаем:

Делим $-8x$ на $x$, получаем $-8$. Умножаем $-8$ на $x + 2$:

Вычитаем:

Таким образом, результат деления:

4. Теперь решим уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$ с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 2$, $c = -8$.

Подставим значения: