Решить sin2x/1-cosx=2sinx

Для того чтобы решить уравнение $\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(x)} = 2\sin(x)$, нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами и упростить выражение.

1. Вспомним, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Подставим это в уравнение:

   $$\frac{2\sin(x)\cos(x)}{1 - \cos(x)} = 2\sin(x)$$

2. Теперь можем разделить обе части уравнения на $\sin(x)$, если $\sin(x) \neq 0$:

   $$\frac{2\cos(x)}{1 - \cos(x)} = 2$$

3. Умножим обе стороны уравнения на $1 - \cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 1$, иначе знаменатель будет равен нулю):

   $$2\cos(x) = 2(1 - \cos(x))$$

4. Раскроем скобки на правой части:

   $$2\cos(x) = 2 - 2\cos(x)$$

5. Переносим все слагаемые, содержащие $\cos(x)$, на одну сторону:

   $$2\cos(x) + 2\cos(x) = 2$$

6. Упростим выражение:

   $$4\cos(x) = 2$$

7. Разделим обе стороны на 4:

   $$\cos(x) = \frac{1}{2}$$

8. Теперь найдем значения $x$, для которых $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Это происходит, когда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

9. Однако нужно проверить, какие из этих решений удовлетворяют исходному уравнению.

Проверим решения для $\sin(x) = 0$, так как мы делили на $\sin(x)$ в шаге 2. Значения $x$, при которых $\sin(x) = 0$, это $x = k\pi$, где $k$ — целое число. Подставим $x = k\pi$ в исходное уравнение и увидим, что обе части равенства обращаются в ноль, так что это тоже решения.

Таким образом, общее решение уравнения:

где $k$ — целое число.