Решить показательное уравнение: \(\frac{1}{6^{4x-7}} = 6^{x-3}\)

Для решения уравнения $\frac{1}{6^{4x-7}} = 6^{x-3}$ применим логарифмические и алгебраические преобразования.

1. Перепишем уравнение:

Первое, что можно сделать — это выразить дробь как отрицательную степень:

2. Уравнение с одинаковыми основаниями:

Теперь у нас уравнение, где обе стороны имеют основание 6. Поскольку основания одинаковые, мы можем приравнять показатели степеней:

3. Решаем это уравнение:

Раскроем скобки:

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну часть, а постоянные в другую:

4. Находим $x$:

Теперь разделим обе стороны на -5:

Ответ: $x = 2$.