Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что

Ответы на вопрос

Отвечает Зворыгин Дмитрий.

Задача на вероятность. Важно понять, что в данном случае вероятность выбора вопросов из группы, которую студент знает, и из группы, которую не знает, нужно рассчитывать с использованием формул комбинаторики.

Всего есть 40 вопросов, из которых студент знает 30, а не знает 10. Необходимо рассчитать вероятность того, что среди трёх выбранных наугад вопросов студент знает:

а) Вероятность того, что студент знает все три вопроса.

Для того чтобы студент знал все три вопроса, нужно, чтобы все выбранные три вопроса оказались среди тех, что он знает. Мы можем посчитать количество способов выбрать 3 вопроса из 30 известных вопросов и разделить это на общее количество способов выбрать 3 вопроса из 40.

Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 40:

C(40, 3) = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880

Количество способов выбрать 3 вопроса из 30 известных:

C(30, 3) = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060

Теперь вероятность того, что все три выбранных вопроса студент знает, равна:

P(\text{все 3}) = \frac{C(30, 3)}{C(40, 3)} = \frac{4060}{9880} \approx 0.4117

б) Вероятность того, что студент знает два вопроса.

Для того чтобы студент знал два вопроса, из трёх выбранных два должны быть известными, а один — неизвестным. Мы считаем количество способов выбрать 2 вопроса из 30 известных и 1 вопрос из 10 неизвестных. Вероятность будет определяться как отношение этого количества способов к общему числу способов выбрать 3 вопроса.

Количество способов выбрать 2 вопроса из 30 известных:

C(30, 2) = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435

Количество способов выбрать 1 вопрос из 10 неизвестных:

C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10

Теперь вероятность того, что студент знает два вопроса, равна:

P(\text{2 вопросы}) = \frac{C(30, 2) \times C(10, 1)}{C(40, 3)} = \frac{435 \times 10}{9880} \approx 0.4405

в) Вероятность того, что студент знает один вопрос.

Для того чтобы студент знал один вопрос, из трёх выбранных один должен быть известным, а два — неизвестными. Мы считаем количество способов выбрать 1 вопрос из 30 известных и 2 вопроса из 10 неизвестных.

Количество способов выбрать 1 вопрос из 30 известных:

C(30, 1) = 30

Количество способов выбрать 2 вопроса из 10 неизвестных:

C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45

Теперь вероятность того, что студент знает один вопрос, равна:

P(\text{1 вопрос}) = \frac{C(30, 1) \times C(10, 2)}{C(40, 3)} = \frac{30 \times 45}{9880} \approx 0.1364

Итоговые вероятности:

а) Вероятность того, что студент знает все 3 вопроса: примерно 0.4117.
б) Вероятность того, что студент знает два вопроса: примерно 0.4405.
в) Вероятность того, что студент знает один вопрос: примерно 0.1364.

Последние заданные вопросы в категории Математика