Х в степени log x по основанию 5=625

У нас есть уравнение $x^{\log_5{x}} = 625$, и нужно найти $x$.

1. Преобразуем 625:
   625 можно выразить как степень числа 5:

   $$625 = 5^4$$

   Таким образом, уравнение превращается в:

   $$x^{\log_5{x}} = 5^4$$

2. Рассмотрим логарифмическое свойство:
   Пусть $\log_5{x} = a$, тогда $x = 5^a$. Подставим это в исходное уравнение:

   $$(5^a)^a = 5^4$$

   Упростим:

   $$5^{a^2} = 5^4$$

3. Равенство показателей:
   Так как у нас одинаковые основания (5), можно приравнять показатели степеней:

   $$a^2 = 4$$

4. Решим это уравнение:

   $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -2$$

5. Найдем $x$:
   Поскольку $a = \log_5{x}$, получаем два случая:

   • Если $a = 2$, то $\log_5{x} = 2$, значит $x = 5^2 = 25$.

   • Если $a = -2$, то $\log_5{x} = -2$, значит $x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.

6. Проверим решения:

   • Для $x = 25$:
     $x^{\log_5{x}} = 25^{\log_5{25}} = 25^2 = 625$, что верно.

   • Для $x = \frac{1}{25}$:
     $x^{\log_5{x}} = \left( \frac{1}{25} \right)^{\log_5{\frac{1}{25}}} = \left( \frac{1}{25} \right)^{-2} = 625$, что тоже верно.

Таким образом, два решения: $x = 25$ и $x = \frac{1}{25}$.