Найти промежутки возрастания и убывания функции у = -3х² - 6х + 3.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = -3x^2 - 6x + 3$ необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает, нужно найти её первую производную. Вспоминаем, что производная квадратичной функции имеет вид:

Применяем правила дифференцирования:

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки — это такие значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Для начала приравняем первую производную к нулю:

Решаем это уравнение:

Таким образом, $x = -1$ — это критическая точка.

Шаг 3: Определить знаки производной на промежутках

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает. Для этого нужно исследовать знак производной $y' = -6x - 6$ на разных интервалах, разделённых критической точкой $x = -1$.

1. Возьмем $x < -1$ (например, $x = -2$):

   Подставляем $x = -2$ в производную:

   $$y'(-2) = -6(-2) - 6 = 12 - 6 = 6$$

   Знак производной положительный, следовательно, функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

2. Возьмем $x > -1$ (например, $x = 0$):

   Подставляем $x = 0$ в производную:

   $$y'(0) = -6(0) - 6 = -6$$

   Знак производной отрицательный, следовательно, функция убывает на интервале $(-1, +\infty)$.

Шаг 4: Вывод

Таким образом, функция $y = -3x^2 - 6x + 3$ возрастает на интервале $(-\infty, -1)$ и убывает на интервале $(-1, +\infty)$.