Из всех прямоугольников данного периметра 2p найдите тот, у которого диагональ наименьшая.

Чтобы найти прямоугольник с минимальной диагональю при данном периметре $2p$, разберём задачу пошагово.

1. Обозначения и формулы

Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Известно, что периметр $2p$ равен:

Диагональ $d$ прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора:

Наша цель — найти $a$ и $b$, при которых $d$ минимальна.

2. Подставим зависимость сторон

Так как $b = p - a$, получаем выражение диагонали через одну переменную:

3. Минимизация функции

Чтобы найти минимум $d(a)$, удобнее минимизировать квадрат диагонали $d^2(a)$, так как квадратный корень не меняет положение минимума:

Возьмём производную по $a$ и приравняем её к нулю:

Тогда $b = p - a = \frac{p}{2}$.

4. Вывод

Минимальная диагональ достигается, когда стороны прямоугольника равны:

То есть прямоугольник с минимальной диагональю — это квадрат.

Диагональ квадрата равна:

Ответ:
Прямоугольник с минимальной диагональю при данном периметре $2p$ — квадрат, стороны которого равны $p/2$. Диагональ этого квадрата равна $\frac{p\sqrt{2}}{2}$.