Элементы комбинаторики: Вариант – I. №1. Сколько различных “слов”, состоящих из трех букв можно составить из букв слова “Атлет”? А если слова содержат не менее трех букв? №2. Группа школьников изучает 8 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий во вторник, если в этот день должно быть 5 различных занятий? №3. В урне 15 белых и 13 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 10 шаров, чтобы среди них было: а) 10 черных; б) 4 белых и 6 черных. №4. Игральная кость бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.

Разберу как задачи на размещения и сочетания: порядок важен там, где составляется слово или расписание по урокам, и не важен там, где просто выбирают шары.

№1.

Слово «Атлет» состоит из 5 букв:

А, Т, Л, Е, Т

Буква Т повторяется два раза, остальные буквы разные.

1) Сколько различных слов из трех букв?

Слова могут быть любыми наборами букв, не обязательно осмысленными. Порядок букв важен.

Рассмотрим два случая.

Первый случай: все 3 буквы разные.

Разные буквы: А, Т, Л, Е, то есть всего 4 вида букв.

Выбираем 3 разные буквы из 4 и переставляем их:

Второй случай: в слове есть две буквы Т.

Тогда третью букву можно выбрать из трех букв: А, Л, Е.

Например: ТТА, ТАТ, АТТ.

Для каждой выбранной третьей буквы количество перестановок:

Всего:

Итого:

Ответ: 33 слова из трех букв.

2) А если слова содержат не менее трех букв?

Так как в слове «Атлет» всего 5 букв, то возможны слова длиной 3, 4 или 5 букв.

Для трех букв уже нашли:

Теперь посчитаем слова из 4 букв.

Слова из 4 букв:

Возможны два случая.

1. Используется только одна буква Т.

Тогда берутся буквы А, Т, Л, Е — все разные.

Количество перестановок:

2. Используются две буквы Т.

Тогда к двум буквам Т надо выбрать еще 2 буквы из А, Л, Е:

Для каждого набора количество перестановок:

Всего:

Итого слов из 4 букв:

Слова из 5 букв:

Используются все буквы слова А, Т, Л, Е, Т.

Так как буква Т повторяется дважды:

Теперь складываем:

Ответ: если слова содержат не менее трех букв, можно составить 153 слова.

№2.

Есть 8 различных дисциплин. Во вторник должно быть 5 различных занятий.

Так как составляется расписание, порядок уроков важен. Например, математика первым уроком и история вторым — это не то же самое, что история первым, а математика вторым.

Значит, нужно выбрать и расположить 5 дисциплин из 8:

Считаем:

Ответ: расписание можно составить 6720 способами.

№3.

В урне:

• 15 белых шаров;

• 13 черных шаров.

Порядок выбора шаров не важен, поэтому используем сочетания.

а) Выбрать 10 черных шаров

Нужно выбрать 10 черных из 13:

Ответ: 286 способов.

б) Выбрать 4 белых и 6 черных шаров

Сначала выбираем 4 белых из 15:

Потом выбираем 6 черных из 13:

Общее количество способов:

Считаем:

Тогда:

Ответ: 2 342 340 способов.

№4.

Игральная кость бросается 3 раза.

При каждом броске может выпасть одно из 6 чисел:

Так как бросков 3, количество всех вариантов:

Ответ: существует 216 вариантов выпадения очков.

Примеры вариантов:

Здесь порядок важен, потому что результат (1;2;3) отличается от результата (3;2;1).