Скорый поезд был задержан у семафора на 4|15 часа и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км в час большей, чем полагалось по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию?

Задача требует вычисления скорости поезда по расписанию. Давайте разобьем её на несколько этапов.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть скорость поезда по расписанию — это $v$ км/ч.
   • Время задержки поезда — 4 часа 15 минут, что равно $4 + \frac{15}{60} = 4,25$ часа.
   • Перегон, на котором произошло опоздание, составляет 80 км.
   • При увеличении скорости на 10 км/ч, поезд движется со скоростью $v + 10$ км/ч.

2. Скорость по расписанию и скорость с опозданием: Мы знаем, что, двигаясь с повышенной скоростью, поезд компенсировал опоздание. Для этого, при новой скорости, он прошел 80 км быстрее, чем если бы двигался с нормальной скоростью.

   Время, которое поезд по расписанию должен был бы потратить на перегон в 80 км:

   $$t_{\text{норм}} = \frac{80}{v}$$

   Время, которое он фактически потратил на перегон, двигаясь со скоростью $v + 10$:

   $$t_{\text{фак}} = \frac{80}{v + 10}$$

3. Разница во времени: Разница во времени между этими двумя вариантами и составляет 4,25 часа (опоздание поезда). То есть:

   $$t_{\text{норм}} - t_{\text{фак}} = 4,25$$

   Подставляем выражения для времени:

   $$\frac{80}{v} - \frac{80}{v + 10} = 4,25$$

4. Решение уравнения: Преобразуем уравнение:

   $$\frac{80}{v} - \frac{80}{v + 10} = 4,25$$

   Вынесем 80 за скобки:

   $$80 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} \right) = 4,25$$

   Упростим:

   $$\frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} = \frac{4,25}{80}$$ $$\frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} = 0,053125$$

   Приведем дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{(v + 10) - v}{v(v + 10)} = 0,053125$$ $$\frac{10}{v(v + 10)} = 0,053125$$

   Умножим обе части на $v(v + 10)$:

   $$10 = 0,053125 \cdot v(v + 10)$$

   Разделим обе части на 0,053125:

   $$v(v + 10) = \frac{10}{0,053125} \approx 188,8$$

5. Решение квадратного уравнения: Получаем квадратное уравнение:

   $$v^2 + 10v - 188,8 = 0$$

   Решаем его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = 10$, $c = -188,8$. Подставляем значения:

   $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-188,8)}}{2 \cdot 1}$$ $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 755,2}}{2}$$ $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{855,2}}{2}$$ $$v = \frac{-10 \pm 29,26}{2}$$

   Получаем два возможных значения для $v$:

   $$v = \frac{-10 + 29,26}{2} \approx 9,63 \quad \text{или} \quad v = \frac{-10 - 29,26}{2} \approx -19,63$$