Решите неравенство: а) (х+2)(х-1)(х-4) > 0

Рассмотрим неравенство:
(x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0

Это неравенство представляет собой произведение трёх линейных множителей, и его знак зависит от знаков этих множителей. Чтобы решить его, нужно:

1. Найти нули (корни) выражения

Нули выражения находятся приравниванием каждого множителя к нулю:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

• $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

• $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, критические точки: $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$

2. Разбить числовую прямую на интервалы

Корни делят числовую прямую на 4 интервала:

1. $x < -2$

2. $-2 < x < 1$

3. $1 < x < 4$

4. $x > 4$

3. Определить знак выражения на каждом интервале

Выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим в выражение $(x + 2)(x - 1)(x - 4)$

• На интервале $x < -2$ (например, $x = -3$):
  $(-3 + 2)(-3 - 1)(-3 - 4) = (-1)(-4)(-7) = -28$
  Отрицательно

• На интервале $-2 < x < 1$ (например, $x = 0$):
  $(0 + 2)(0 - 1)(0 - 4) = (2)(-1)(-4) = 8$
  Положительно

• На интервале $1 < x < 4$ (например, $x = 2$):
  $(2 + 2)(2 - 1)(2 - 4) = (4)(1)(-2) = -8$
  Отрицательно

• На интервале $x > 4$ (например, $x = 5$):
  $(5 + 2)(5 - 1)(5 - 4) = (7)(4)(1) = 28$
  Положительно

4. Учесть знак неравенства

В неравенстве > 0, нас интересуют те значения $x$, при которых выражение положительно. Также важно помнить, что строгое неравенство — значит, точки $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$ в решение не входят.

5. Записать ответ

Положительные значения выражения на интервалах:

• $(-2, 1)$

• $(4, +\infty)$

Ответ: