Решите уравнение с заменой переменной: $$(x² - 4x + 4)² + 2(x - 2)² = 3$$

Для решения уравнения $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3$ используем замену переменной. Начнем с того, что упростим выражения в скобках.

1. Заметим, что:

   $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2.$$

   Таким образом, уравнение можно переписать как:

   $$((x - 2)^2)^2 + 2(x - 2)^2 = 3.$$

2. Пусть $y = (x - 2)^2$. Тогда уравнение превращается в:

   $$y^2 + 2y = 3.$$

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   $$y^2 + 2y - 3 = 0.$$

4. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант равен:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$, поэтому:

   $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3.$$

5. Теперь вернемся к переменной $y = (x - 2)^2$. Подставляем значения для $y$.

   • Для $y_1 = 1$:

     $$(x - 2)^2 = 1.$$

     Из этого уравнения получаем два решения:

     $$x - 2 = 1 \quad \text{или} \quad x - 2 = -1.$$

     То есть:

     $$x = 3 \quad \text{или} \quad x = 1.$$

   • Для $y_2 = -3$:

     $$(x - 2)^2 = -3.$$

     Однако квадрат любого числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений для $y = -3$.

6. Таким образом, решения уравнения $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3$ — это:

   $$x = 3 \quad \text{или} \quad x = 1.$$