Мяч брошен с поверхности Земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую

Ответы на вопрос

Отвечает Якименко Денис.

Рассмотрим задачу, где мяч брошен с поверхности Земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Нужно найти наибольшую высоту подъема, дальность полета, скорость в наивысшей точке траектории, а также скорость и координаты мяча через 2 секунды после начала движения. Для этого будем использовать законы механики и кинематики.

1. Разделение начальной скорости на компоненты

Начальная скорость $v_0 = 20 \, \text{м/с}$ направлена под углом 45° к горизонту. Разделим её на компоненты:

Горизонтальная компонента скорости $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 14,14 \, \text{м/с}$
Вертикальная компонента скорости $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 14,14 \, \text{м/с}$

2. Наибольшая высота подъема

Наибольшая высота подъема мяча достигается, когда вертикальная скорость становится равной нулю. Для этого используем формулу для вертикального движения:

v_{y} = v_{0y} - g \cdot t

Где:

$v_y = 0$ (в наивысшей точке вертикальная скорость равна нулю),
$g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,
$t$ — время, через которое вертикальная скорость станет равной нулю.

Подставим:

0 = 14,14 - 9,8 \cdot t

Решим относительно $t$ :

t = \frac{14,14}{9,8} \approx 1,44 \, \text{с}

Это время, через которое мяч достигает наибольшей высоты. Теперь найдём эту высоту с помощью формулы для вертикального перемещения:

h_{\text{max}} = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2

Подставляем значения:

h_{\text{max}} = 14,14 \cdot 1,44 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (1,44)^2

h_{\text{max}} \approx 20,37 - 6,79 = 13,58 \, \text{м}

Таким образом, наибольшая высота подъема мяча составляет примерно 13,58 м.

3. Дальность полета

Дальность полета мяча можно найти, вычислив время полета, а затем используя горизонтальную скорость. Время полета $T$ определяется как время, за которое мяч вернется на землю (когда вертикальная скорость станет нулевой и снова вернется к нулю):

T = 2 \cdot t = 2 \cdot 1,44 = 2,88 \, \text{с}

Теперь дальность полета $R$ вычисляется как:

R = v_{0x} \cdot T = 14,14 \cdot 2,88 \approx 40,7 \, \text{м}

Таким образом, дальность полета мяча составляет примерно 40,7 м.

4. Скорость в наивысшей точке траектории

В наивысшей точке траектории вертикальная скорость равна нулю, а горизонтальная скорость остаётся неизменной. Таким образом, скорость мяча в наивысшей точке траектории равна горизонтальной компоненте скорости:

v_{\text{max}} = v_{0x} = 14,14 \, \text{м/с}

5. Скорость и координаты мяча через 2 с

Теперь найдём скорость и координаты мяча через 2 секунды после начала движения.

Скорость:

Скорость мяча в любой момент времени — это вектор, состоящий из горизонтальной и вертикальной компонент. Горизонтальная скорость остаётся постоянной, а вертикальная скорость меняется по закону:

v_{y}(t) = v_{0y} - g \cdot t = 14,14 - 9,8 \cdot 2 = 14,14 - 19,6 = -5,46 \, \text{м/с}

Теперь находим полную скорость:

v = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = \sqrt{14,14^2 + (-5,46)^2} = \sqrt{199,96 + 29,78} \approx \sqrt{229,74} \approx 15,16 \, \text{м/с}