В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
P.S. обязательно решение со всеми пояснениями.

Для решения задачи необходимо распределить 20 мальчиков и 25 девочек по двум классам так, чтобы один класс состоял из 22 учеников, а другой — из 23, и чтобы сумма процентов девочек в каждом классе была максимальной.

Обозначим переменные:

• Пусть $x_1$ — количество девочек в первом классе.
• Пусть $x_2$ — количество девочек во втором классе.

Тогда количество мальчиков в классах будет:

• $22 - x_1$ в первом классе (так как в первом классе всего 22 ученика),
• $23 - x_2$ во втором классе (так как во втором классе всего 23 ученика).

Условия задачи:

1. Общее количество девочек:

   $$x_1 + x_2 = 25$$

2. Общее количество мальчиков:

   $$(22 - x_1) + (23 - x_2) = 20$$

С учетом, что в классе 22 ученика и в классе 23, можно выразить количество мальчиков и девочек, исходя из условия.

Процент девочек в каждом классе:

• Процент девочек в первом классе: $$P_1 = \frac{x_1}{22} \times 100\%$$
• Процент девочек во втором классе: $$P_2 = \frac{x_2}{23} \times 100\%$$

Сумма процентов девочек:

Мы хотим максимизировать сумму:

Для простоты можно выразить это как:

Замена переменных:

Используя $x_2 = 25 - x_1$, мы можем выразить сумму только через одну переменную:

Преобразуем:

Находим общий коэффициент:

Найдем общий знаменатель для дробей:

Таким образом,

Оптимизация:

Так как коэффициент при $x_1$ положителен, то для максимизации суммы $S$ нужно взять максимальное значение $x_1$. Максимально возможное количество девочек в одном классе не может превышать 22. Но поскольку всего девочек 25, мы имеем, что:

• Если $x_1 = 22$, то $x_2 = 25 - 22 = 3$.

Проверяем распределение:

1. В первом классе:

   • 22 девочки и 0 мальчиков.
   • Процент девочек $P_1 = \frac{22}{22} \times 100\% = 100\%$.

2. Во втором классе:

   • 3 девочки и 20 мальчиков.
   • Процент девочек $P_2 = \frac{3}{23} \times 100\% \approx 13.04\%$