среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета в театр, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся : а) 3 юноши 1 девушка, б) хотя бы 1 юноша.

Рассмотрим решение задачи подробно, используя комбинаторный подход.

Дано:

• Общее количество студентов: $n = 25$.
• Из них 15 девушек и $25 - 15 = 10$ юношей.
• Всего разыгрывается 4 билета.
• Каждый студент может выиграть только один билет.

Требуется найти:

1. Вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 юноши и 1 девушка.
2. Вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы 1 юноша.

Шаг 1. Общая вероятность

Вероятность любого исхода при случайном выборе студентов зависит от количества всех возможных комбинаций 4 студентов из 25.

Общее число способов выбрать 4 студентов из 25 (независимо от их пола) вычисляется по формуле сочетаний:

Это количество всех возможных комбинаций 4 студентов из 25.

Решение пункта (а): Вероятность того, что среди обладателей билетов будут 3 юноши и 1 девушка

Для этого исхода требуется, чтобы среди 4 обладателей билетов было ровно 3 юноши и 1 девушка. Рассчитаем количество способов, которыми можно выбрать 3 юношей из 10 и 1 девушку из 15.

1. Число способов выбрать 3 юношей из 10:

   $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120$$

2. Число способов выбрать 1 девушку из 15:

   $$C_{15}^1 = \frac{15!}{1!(15 - 1)!} = \frac{15!}{1! \cdot 14!} = 15$$

Теперь находим общее количество способов выбрать 3 юношей и 1 девушку одновременно:

Теперь можно найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 юноши и 1 девушка:

Решение пункта (б): Вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы 1 юноша

Для этого пункта проще найти вероятность противоположного события — что все 4 обладателя билетов окажутся девушками, — и затем вычесть эту вероятность из 1.

1. Число способов выбрать 4 девушек из 15:

   $$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = 1365$$

2. Вероятность того, что среди обладателей билетов будут только девушки:

   P(\text{только девушки}) = \frac{1365}{12650} \approx 0.1079 \, \text{(или 10.79%)}

Теперь можно найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы 1 юноша:

Ответ:

1. Вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 юноши и 1 девушка, составляет приблизительно 0.1423 (или 14.23%).
2. Вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы 1 юноша, составляет приблизительно 0.8921 (или 89.21%).