Найдите x из уравнения, если известно, что показатели степеней множителей составляют арифметическую прогрессию: 2^2 * 2^4 * 2^6 * ... * 2^(2x) = (0,25)^(-36)

Левая часть — это произведение степеней с одинаковым основанием \(2\), значит показатели надо сложить:

\[ 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot ... \cdot 2^{2x} = 2^{2+4+6+...+2x} \]

Сумма показателей:

\[ 2+4+6+...+2x = 2(1+2+3+...+x) = 2 \cdot \frac{x(x+1)}{2} = x(x+1) \]

Правая часть:

\[ (0{,}25)^{-36} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-36} = (2^{-2})^{-36} = 2^{72} \]

Получаем уравнение:

\[ x(x+1)=72 \]

\[ x^2+x-72=0 \]

\[ x=8 \]

Ответ: \(x=8\).

0 0 Пожаловаться