(2x-1)dy = (y+1)dx, y(5) = 0. Розв'язати задачу Коші.

Маємо рівняння:

\[ (2x-1)dy=(y+1)dx \]

Перепишемо його у вигляді:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{y+1}{2x-1} \]

Відокремимо змінні:

\[ \frac{dy}{y+1}=\frac{dx}{2x-1} \]

Інтегруємо:

\[ \ln |y+1|=\frac{1}{2}\ln |2x-1|+C \]

Звідси:

\[ y+1=C\sqrt{2x-1} \]

Використаємо умову \( y(5)=0 \):

\[ 0+1=C\sqrt{2\cdot5-1}=3C \]

\[ C=\frac{1}{3} \]

Отже, розв’язок задачі Коші:

\[ y=\frac{\sqrt{2x-1}}{3}-1 \]

Область розв’язку, що містить точку \( x=5 \): \( x>\frac{1}{2} \).

0 0 Пожаловаться