Чему равен arcsin(1/2)? 5π/6 или π/6? Ведь и sin(5π/6), и sin(π/6) равны 1/2. Какое из этих значений использовать в задаче и почему? Аналогичный вопрос и с arccos и его значениями.

$\arcsin(1/2)$ равен $\pi/6$, а не $5\pi/6$.

Главная причина: $\arcsin$ — это не “любой угол, синус которого равен числу”, а обратная функция к синусу на специально выбранном промежутке.

Синус сам по себе не является взаимно однозначной функцией: действительно,

и

Но если бы $\arcsin(1/2)$ мог быть и $\pi/6$, и $5\pi/6$, то $\arcsin$ не был бы функцией: одному числу $1/2$ соответствовало бы два значения. Поэтому для обратной функции заранее выбирают один промежуток, на котором синус принимает каждое значение ровно один раз.

Для $\arcsin x$ выбран промежуток:

То есть $\arcsin x$ всегда возвращает угол из промежутка

На этом промежутке угол с синусом $1/2$ — это только

А угол

хотя и имеет синус $1/2$, но не лежит в промежутке значений $\arcsin$. Поэтому

Важно различать две вещи:

и уравнение

Первое выражение имеет одно значение:

А второе уравнение имеет бесконечно много решений:

или

где $k\in\mathbb Z$.

То есть $\arcsin(1/2)$ дает только главное значение, а не все возможные углы.

С $\arccos$ ситуация аналогичная, но выбран другой промежуток. Для $\arccos x$ значения берутся из промежутка

То есть $\arccos x$ всегда возвращает угол из

Например,

поэтому

Хотя, например,

угол $5\pi/3$ не лежит в промежутке $[0,\pi]$, поэтому он не является значением $\arccos(1/2)$.

Для уравнения

решений снова много:

где $k\in\mathbb Z$.

Итак:

потому что $\arcsin$ возвращает значение только из промежутка

А $5\pi/6$ появляется не как значение $\arcsin(1/2)$, а как одно из решений уравнения