1. Моторная лодка прошла 105 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 12 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде. 2. Катер прошёл от одной пристани к другой, расстояние между которыми по реке равно 96 км, сделал стоянку на 5 минут и вернулся обратно через 10 1/12 ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задача 1

Условие: Моторная лодка прошла 105 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 12 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в неподвижной воде).

Так как скорость течения реки равна 3 км/ч, то:

• $x+3$ км/ч — скорость лодки по течению реки;

• $x-3$ км/ч — скорость лодки против течения реки.

Известно, что расстояние в каждую сторону составляет 105 км, а общее время движения равно 12 часам.

Время движения находим по формуле:

Тогда время движения по течению:

Время движения против течения:

Поскольку на весь путь лодка затратила 12 часов, составим уравнение:

Приведём дроби к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Упростим:

Умножим обе части на $x^2-9$:

Перенесём всё в одну сторону:

Разделим на 6:

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Найдём корни:

Отрицательная скорость не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, собственная скорость лодки равна 18 км/ч.

Проверка:

По течению скорость равна $18+3=21$ км/ч, время движения:

Против течения скорость равна $18-3=15$ км/ч, время движения:

Общее время:

Условие выполняется.

Ответ: 18 км/ч.