Найдите все значения a, при которых уравнение имеет более двух корней:
|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|

Используем свойство модуля:

\[|A|=|B|\]

значит, либо \(A=B\), либо \(A=-B\).

Здесь:

\[A=x^2-2ax+7\]

\[B=6a-x^2-2x-1\]

1. Первый случай:

\[x^2-2ax+7=6a-x^2-2x-1\]

Получаем:

\[x^2+(1-a)x+4-3a=0\]

Чтобы это квадратное уравнение имело два разных корня, нужен положительный дискриминант:

\[D=(1-a)^2-4(4-3a)=a^2+10a-15\]

\[a^2+10a-15>0\]

Отсюда:

\[a-5+2\sqrt{10}\]

2. Второй случай:

\[x^2-2ax+7=-(6a-x^2-2x-1)\]

После упрощения:

\[(a+1)(x-3)=0\]

Если \(a\ne -1\), появляется корень \(x=3\). Но если этот корень уже есть у квадратного уравнения, нового корня не добавится.

Проверим \(x=3\):

\[3^2+(1-a)\cdot 3+4-3a=16-6a\]

\[16-6a=0\]

\[a=\frac{8}{3}\]

Это значение нужно исключить.

Если \(a=-1\), второй случай превращается в тождество, поэтому корней бесконечно много. Это значение подходит.

Ответ:

\[a=-1\]

или

\[a-5+2\sqrt{10},\quad a\ne \frac{8}{3}\]

0 0 Пожаловаться