1. В классе 25 учащихся. Для изучения иностранного языка их надо разделить на две группы: 13 и 12 человек. Сколькими способами это можно сделать? 2. На плоскости отметили 12 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами этих точках?

Решение:

Задача 1:

В классе 25 учащихся. Нужно разделить их на две группы: 13 человек и 12 человек.

Порядок групп здесь неважен (группа из 13 человек и группа из 12 человек эквивалентны при перестановке). Это означает, что нужно выбрать 13 человек из 25, после чего оставшиеся 12 автоматически попадут в другую группу. Количество способов выбрать 13 человек из 25 определяется комбинацией:

где $n = 25$ — общее число учащихся, а $k = 13$ — число учеников в одной из групп.

Подставим числа:

Для упрощения вычислений используем формулу сокращения факториала:

Посчитаем:

Вычисления дают:

Итак, разделить учащихся на две группы можно 5 200 300 способами.

Задача 2:

На плоскости отмечены 12 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Нужно найти количество треугольников, которые можно построить, используя эти точки в качестве вершин.

Треугольник определяется выбором трех точек из общего количества. Поскольку порядок точек в треугольнике не имеет значения, нужно использовать формулу комбинации:

где $n = 12$ (число точек), $k = 3$ (число точек, необходимых для построения треугольника).

Подставим:

Посчитаем:

Таким образом, можно построить 220 треугольников.

Ответ:

1. Разделить учащихся на две группы можно $5 \, 200 \, 300$ способами.
2. Построить треугольники можно в количестве $220$.