В круг радиуса R вписан прямоугольник, одна из сторон которого равна x. Является ли площадь прямоугольника S функцией от x? Если да, то найдите область определения и множество значений этой функции. Найдите S при x=R\3;4R\3.

Да, площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса $R$, является функцией от длины одной из его сторон, которая равна $x$.

Рассмотрим задачу поэтапно:

1. Геометрия прямоугольника, вписанного в круг:

   Пусть круг имеет радиус $R$, и в него вписан прямоугольник. Одну из сторон прямоугольника обозначим через $x$. Из-за того, что прямоугольник вписан в круг, его диагональ совпадает с диаметром круга, то есть длина диагонали равна $2R$. Если одну из сторон прямоугольника обозначить через $x$, а вторую сторону — через $y$, то по теореме Пифагора для диагонали прямоугольника получаем следующее уравнение:

   $$x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2$$

2. Выражение для второй стороны $y$:

   Из уравнения выше можно выразить вторую сторону $y$ через $x$:

   $$y^2 = 4R^2 - x^2$$ $$y = \sqrt{4R^2 - x^2}$$

3. Площадь прямоугольника:

   Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон $x$ и $y$:

   $$S(x) = x \cdot y = x \cdot \sqrt{4R^2 - x^2}$$

   Таким образом, площадь $S$ является функцией от $x$, и её можно записать как $S(x) = x \cdot \sqrt{4R^2 - x^2}$.

Область определения функции:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было положительным, должно выполняться условие:

Таким образом, область определения функции $S(x)$ — это интервал от $0$ до $2R$, то есть:

Множество значений функции:

Площадь $S(x)$ зависит от $x$, и поскольку $x$ ограничено интервалом $[0, 2R]$, следует рассмотреть, как изменяется сама площадь.

• При $x = 0$ площадь равна 0 (прямоугольник становится линейным и исчезает).
• При $x = 2R$ площадь также равна 0 (в данном случае прямоугольник превращается в отрезок).

Значения функции $S(x)$ будут изменяться от 0 до некоторого максимума и снова к 0, поскольку функция является симметричной и максимизируется, когда $x = R$, что соответствует квадрату. Таким образом, максимальная площадь будет при $x = R$, и её значение будет $S(R) = R \cdot \sqrt{4R^2 - R^2} = R \cdot \sqrt{3R^2} = R \cdot R\sqrt{3} = R^2\sqrt{3}$.

Следовательно, функция $S(x)$ принимает значения на отрезке $[0, R^2\sqrt{3}]$, то есть:

Значение площади при $x = \frac{R}{3}$ и $x = \frac{4R}{3}$:

1. При $x = \frac{R}{3}$:

   Подставляем $x = \frac{R}{3}$ в формулу для площади:

   $$S\left(\frac{R}{3}\right) = \frac{R}{3} \cdot \sqrt{4R^2 - \left(\frac{R}{3}\right)^2} = \frac{R}{3} \cdot \sqrt{4R^2 - \frac{R^2}{9}} = \frac{R}{3} \cdot \sqrt{\frac{36R^2}{9} - \frac{R^2}{9}} = \frac{R}{3} \cdot \sqrt{\frac{35R^2}{9}} = \frac{R}{3} \cdot \frac{\sqrt{35}R}{3}$$