Сколько корней имеет заданное уравнение 2x3−9x2−24x−31=0 на промежутке (0;+∞)?

Для анализа количества корней уравнения $2x^3 - 9x^2 - 24x - 31 = 0$ на промежутке $(0; +\infty)$, необходимо использовать свойства функций, анализ их производных и исследование поведения функции на указанном промежутке.

1. Анализ исходной функции

Исследуем поведение функции:

• Это кубическое уравнение, коэффициент при $x^3$ положителен ($2 > 0$), следовательно, на бесконечности ($x \to +\infty$) функция стремится к $+\infty$.
• При $x \to 0^+$, функция принимает значение $f(0) = -31$ (отрицательное значение).

Таким образом, функция $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$ пересекает ось абсцисс хотя бы один раз.

2. Производная функции

Для определения характера поведения $f(x)$ (возрастание или убывание) найдем её производную:

• Производная $f'(x)$ является квадратным уравнением:

Разделим на 6:

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

Корни уравнения:

Итак, производная меняет знак в точке $x = 4$.

3. Знаки производной и поведение функции

• На промежутке $(0; 4)$, подставив $x = 1$ в $f'(x)$, получаем:

Функция убывает на $(0; 4)$.

• На промежутке $(4; +\infty)$, подставив $x = 5$, получаем:

Функция возрастает на $(4; +\infty)$.

Таким образом, в точке $x = 4$ функция имеет локальный минимум.

4. Число корней

• На промежутке $(0; 4)$ функция убывает, при этом $f(0) = -31$, а на малых $x > 0$ функция принимает отрицательные значения. Функция должна пересечь ось абсцисс (есть корень).
• На промежутке $(4; +\infty)$ функция возрастает, а при больших $x$ $f(x) \to +\infty$, так что здесь также есть пересечение с осью абсцисс (ещё один корень).

Итого: уравнение $2x^3 - 9x^2 - 24x - 31 = 0$ имеет два корня на промежутке $(0; +\infty)$.