Вычислить
cos(arcsin корень из2/2)

Чтобы вычислить $\cos(\arcsin(\sqrt{2}/2))$, давайте разберемся шаг за шагом, используя основные свойства тригонометрических функций.

1. Понимание задачи

Функция $\arcsin(x)$ возвращает угол $\theta$ в диапазоне от $-\pi/2$ до $\pi/2$, для которого $\sin(\theta) = x$. В нашем случае, $x = \sqrt{2}/2$, что означает, что мы ищем угол $\theta$, для которого:

Из тригонометрии известно, что $\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$. Таким образом:

2. Нахождение $\cos(\theta)$

Теперь мы знаем, что $\theta = \pi/4$. Осталось найти $\cos(\theta)$. Из тригонометрии также известно, что:

3. Проверка с помощью основного тригонометрического тождества

Существует важное тождество:

Подставим $\sin(\theta) = \sqrt{2}/2$ в это уравнение:

4. Уточнение знака

Поскольку $\arcsin(\sqrt{2}/2)$ возвращает угол в диапазоне $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$, который лежит в первой четверти (где и синус, и косинус положительны), то $\cos(\theta) > 0$.

Таким образом:

Итоговый ответ