Найти а) f ' (1), если f(x)=(2x-3)^5
б) f ' (Пи), если f(x)=sin^2 x

Задание а) Найти $f'(1)$, если $f(x) = (2x - 3)^5$

Чтобы найти производную функции $f(x) = (2x - 3)^5$, будем использовать правило дифференцирования сложной функции, а именно, правило цепочки.

1. Определим внешнюю и внутреннюю функцию.
   Внешняя функция $g(u) = u^5$, где $u = 2x - 3$. Внутренняя функция — это $u = 2x - 3$.

2. Найдем производную внешней функции по переменной $u$:

   $$g'(u) = 5u^4$$

3. Найдем производную внутренней функции по $x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2$$

4. Применим правило цепочки для вычисления производной функции $f(x)$:

   $$f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = 5(2x - 3)^4 \cdot 2$$ $$f'(x) = 10(2x - 3)^4$$

Теперь, чтобы найти $f'(1)$, подставим $x = 1$ в полученную формулу:

Ответ: $f'(1) = 10$.

Задание б) Найти $f'(\pi)$, если $f(x) = \sin^2(x)$

Для нахождения производной функции $f(x) = \sin^2(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции, опять же используя цепочку.

1. Определим внешнюю и внутреннюю функцию.
   Внешняя функция $g(u) = u^2$, где $u = \sin(x)$. Внутренняя функция — это $u = \sin(x)$.

2. Найдем производную внешней функции по $u$:

   $$g'(u) = 2u$$

3. Найдем производную внутренней функции по $x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$

4. Применим правило цепочки для вычисления производной функции $f(x)$:

   $$f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x)$$ $$f'(x) = \sin(2x)$$

   (используем формулу удвоенного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$).

Теперь, чтобы найти $f'(\pi)$, подставим $x = \pi$:

Ответ: $f'(\pi) = 0$.