Пря­мая y = 3x + 1 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции ax^2 + 2x + 3. Най­ди­те a.

Для того чтобы найти значение $a$, нужно использовать тот факт, что прямая $y = 3x + 1$ является касательной к графику функции $y = ax^2 + 2x + 3$. Это означает, что прямая и парабола пересекаются в одной точке, и в этой точке их касательные имеют одинаковый наклон.

Шаги решения задачи:

1. Найдем точку касания: Пусть точка касания будет $x = x_0$. В этой точке значения функции $ax^2 + 2x + 3$ и прямой $3x + 1$ должны совпадать. То есть:

   $$ax_0^2 + 2x_0 + 3 = 3x_0 + 1$$

   Упростим это уравнение:

   $$ax_0^2 + 2x_0 + 3 - 3x_0 - 1 = 0$$ $$ax_0^2 - x_0 + 2 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $x_0$.

2. Найдем производную функции $y = ax^2 + 2x + 3$, чтобы узнать наклон касательной. Производная функции по $x$:

   $$\frac{d}{dx}(ax^2 + 2x + 3) = 2ax + 2$$

   В точке касания наклон прямой и наклон параболы должны совпадать, то есть:

   $$2ax_0 + 2 = 3$$

   Упростим это уравнение:

   $$2ax_0 = 1 \quad \Rightarrow \quad ax_0 = \frac{1}{2}$$ $$a = \frac{1}{2x_0}$$

3. Решим систему уравнений: Мы имеем два уравнения:

   • $ax_0^2 - x_0 + 2 = 0$
   • $a = \frac{1}{2x_0}$

   Подставим значение $a = \frac{1}{2x_0}$ в первое уравнение:

   $$\left( \frac{1}{2x_0} \right) x_0^2 - x_0 + 2 = 0$$

   Упростим:

   $$\frac{x_0}{2} - x_0 + 2 = 0$$

   Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:

   $$x_0 - 2x_0 + 4 = 0$$ $$-x_0 + 4 = 0$$ $$x_0 = 4$$

4. Найдем $a$: Теперь, зная $x_0 = 4$, подставим это значение в выражение для $a$:

   $$a = \frac{1}{2x_0} = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$$

Ответ: значение $a$ равно $\frac{1}{8}$.