Найдите функцию, обратную для функции y=-x²+6x-10, D(y)=[3;+∞)​

Для того чтобы найти обратную функцию для функции $y = -x^2 + 6x - 10$ с областью определения $D(y) = [3; +\infty)$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Привести функцию к более удобному виду (полное квадратное выражение).

Функция $y = -x^2 + 6x - 10$ является квадратичной, и для поиска её обратной функции нужно сначала привести её в виде полного квадрата. Для этого можно выделить квадрат в правой части.

Исходная функция:

Для выделения полного квадрата, начнем с выражения $-x^2 + 6x$. Выделим квадрат для $x$:

Теперь добавим и вычтем $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$, чтобы получился полный квадрат:

Таким образом, наша функция примет вид:

2. Решить полученное выражение для $x$.

Теперь, чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Исходя из полученной функции:

Преобразуем её так, чтобы $x$ было явно выражено через $y$:

Умножим обе части на $-1$:

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

Но так как область определения функции $D(y) = [3; +\infty)$, то мы будем рассматривать только положительное значение квадратного корня (поскольку $x$ должно быть больше или равно 3):

Теперь решим относительно $x$:

3. Заменить переменные для получения обратной функции.

Перепишем выражение для $x$, заменив его на $f^{-1}(y)$:

Таким образом, обратная функция для $y = -x^2 + 6x - 10$ с областью определения $D(y) = [3; +\infty)$ будет:

4. Область определения обратной функции.

Область определения обратной функции будет зависеть от того, для каких значений $y$ выражение под квадратным корнем будет неотрицательным. Это выражение под корнем $-(y + 1)$ должно быть неотрицательным, то есть:

Таким образом, область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = (-\infty, -1]$.

Ответ: Обратная функция для $y = -x^2 + 6x - 10$ с областью определения $D(y) = [3; +\infty)$ — это: