Найти боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равна 6, а высота равна \(3\sqrt{14}\).

Чтобы найти боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, нужно использовать геометрические свойства этой фигуры. Рассмотрим пирамиду с квадратным основанием.

1. Обозначения и данные:

   • Сторона основания квадрата $a = 6$.

   • Высота пирамиды $h = 3\sqrt{14}$.

2. Шаг 1: Найдём половину диагонали основания.
   Площадь основания — это квадрат, и его диагональ можно найти по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}.$$

   Подставим значение $a = 6$:

   $$d = 6\sqrt{2}.$$

   Половина диагонали основания (расстояние от центра основания до вершины одного из боковых рёбер) равна:

   $$\frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.$$

3. Шаг 2: Рассмотрим треугольник, образованный боковым рёбером, высотой пирамиды и половиной диагонали основания.
   Это прямоугольный треугольник, где:

   • одна катет — высота пирамиды $h = 3\sqrt{14}$,

   • второй катет — половина диагонали основания $3\sqrt{2}$,

   • гипотенуза — боковое ребро пирамиды, которое нам нужно найти.

4. Шаг 3: Используем теорему Пифагора.
   Обозначим боковое ребро пирамиды через $l$. По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

   $$l^2 = (3\sqrt{14})^2 + (3\sqrt{2})^2.$$

   Вычислим квадраты катетов:

   $$(3\sqrt{14})^2 = 9 \times 14 = 126,$$ $$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18.$$

   Тогда:

   $$l^2 = 126 + 18 = 144.$$

   Извлекаем квадратный корень:

   $$l = \sqrt{144} = 12.$$

Ответ: боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 12.