Радиус окружности равен 1. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную √2.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о вписанном угле. Согласно этой теореме, вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине центрального угла, который опирается на ту же самую хорду.

1. Площадь треугольника, образованного центром окружности и концами хорды, можно найти, если учесть, что радиус окружности равен 1. Мы знаем, что длина хорды $AB = \sqrt{2}$.

2. Теперь нужно найти центральный угол $\theta$, который опирается на эту хорду. Для этого воспользуемся формулой для длины хорды в окружности, которая зависит от центрального угла:

Где $AB$ — длина хорды, $r$ — радиус окружности, $\theta$ — центральный угол. Подставляем известные значения: $AB = \sqrt{2}$ и $r = 1$:

Делим обе части на 2:

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

Умножаем обе части на 2:

3. Вписанный угол, опирающийся на эту хорду, будет в два раза меньше центрального угла:

Ответ: острый вписанный угол, опирающийся на хорду длиной $\sqrt{2}$, равен $\frac{\pi}{4}$ радиан, или 45 градусов.