Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в соотношении 2:1, считая от вершины.

Чтобы доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую медиану в соотношении 2:1, начиная от вершины, рассмотрим треугольник ABC с медианами, которые соединяют каждую вершину с серединой противоположной стороны. Пусть M, N и P — середины сторон BC, CA и AB соответственно.

1. Определение медианы:
   Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Например, медиана AM соединяет вершину A с серединой M стороны BC, медиана BN — вершину B с серединой N стороны AC, и медиана CP — вершину C с серединой P стороны AB.

2. Свойства медиан:
   По теореме о медианах, медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром масс). Это точка, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это утверждение можно доказать с помощью координатной геометрии.

3. Доказательство с использованием координатной геометрии:
   Пусть координаты вершин треугольника A, B и C равны соответственно (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃).

   • Точка M — середина отрезка BC, ее координаты будут:
     $M = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)$.

   • Точка N — середина отрезка AC, ее координаты будут:
     $N = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)$.

   • Точка P — середина отрезка AB, ее координаты будут:
     $P = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$.

4. Нахождение уравнений медиан:
   Медиана AM соединяет точку A (x₁, y₁) с точкой M. Уравнение медианы AM можно записать в параметрической форме. Параметрическое уравнение для медианы AM будет иметь вид:

   $$\left( x(t), y(t) \right) = \left( x_1, y_1 \right) + t \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - x_1, \frac{y_2 + y_3}{2} - y_1 \right),$$

   где t — параметр отрезка.

   Подобным образом можно записать уравнения медиан BN и CP.

5. Пересечение медиан:
   Медианы пересекаются в одной точке, и эта точка является центроидом. Для этого нужно решить систему уравнений медиан. Решив эту систему, можно показать, что координаты точки пересечения (центроида) будут равны:

   $$x_{\text{центроид}} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_{\text{центроид}} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.$$

   Это точка, которая делит каждую медиану в соотношении 2:1, считая от вершины.

6. Заключение:
   Таким образом, медианы треугольника действительно пересекаются в одной точке — центре масс (центроиде), и эта точка делит каждую медиану в соотношении 2:1, начиная от вершины.