Куб вписан в шар. Найдите радиус шара, если ребро куба равно \(10\sqrt{3}\).

У куба, вписанного в шар, все восемь вершин лежат на поверхности шара. Поэтому диаметр шара равен пространственной диагонали куба.

1. Найдём пространственную диагональ куба.
   Для куба с ребром $a$ диагональ определяется по теореме Пифагора в трёх измерениях:

   $$d = a\sqrt{3}.$$

2. Подставим заданное ребро.
   Дано $a = 10\sqrt{3}$:

   $$d = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}= 10\cdot 3 = 30.$$

3. Свяжем диаметр и радиус шара.
   Диаметр $d$ вдвое больше радиуса $R$: $d = 2R$.

   $$R = \frac{d}{2}= \frac{30}{2}= 15.$$

Ответ: $R = 15$.