Медный куб, ребро которого 10 см переплавлен в шар. Найти радиус шара и его объем.

Для решения задачи нам нужно использовать несколько важных физических и математических понятий, таких как объем куба и объем шара.

1. Шаг 1: Найдем объем медного куба.

   Объем куба вычисляется по формуле:

   $$V_{\text{куб}} = a^3$$

   где $a$ — длина ребра куба. В нашем случае длина ребра куба равна 10 см.

   Таким образом, объем куба:

   $$V_{\text{куб}} = 10^3 = 1000 \text{ см}^3.$$

   То есть, объем медного куба — 1000 см³.

2. Шаг 2: Найдем радиус шара.

   Поскольку куб переплавлен в шар, объем медного куба будет равен объему этого шара. Объем шара вычисляется по формуле:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3,$$

   где $r$ — радиус шара.

   Из условия задачи мы знаем, что объем шара равен объему куба, то есть:

   $$\frac{4}{3} \pi r^3 = 1000.$$

   Чтобы найти радиус $r$, нужно выразить его из этого уравнения:

   $$r^3 = \frac{1000 \times 3}{4 \pi} = \frac{3000}{4 \pi} \approx \frac{3000}{12.5664} \approx 238.73.$$

   Теперь извлекаем кубический корень:

   $$r \approx \sqrt[3]{238.73} \approx 6.2 \text{ см}.$$

   Итак, радиус шара примерно равен 6.2 см.

3. Шаг 3: Найдем объем шара.

   Теперь, зная радиус шара, можно найти его объем, используя формулу:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

   Подставляем значение радиуса $r \approx 6.2$ см:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi (6.2)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \times 238.73 \approx 1000 \text{ см}^3.$$

   Мы видим, что объем шара действительно равен 1000 см³, как и должно быть, так как масса (или объем) не меняется при переплавке.

Ответ: Радиус шара составляет примерно 6.2 см, а его объем — 1000 см³.