В какой параллелограмм можно вписать окружность и почему?

Вписать окружность можно только в параллелограмм, у которого суммы длин противоположных сторон равны. Однако у всех параллелограммов противоположные стороны равны по определению, так что это условие выполняется всегда. Но для того чтобы вписать окружность, этого недостаточно.

Окружность можно вписать только в ромб, потому что:

1. Окружность вписывается в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. Это условие, как уже сказано, выполняется для любого параллелограмма.

2. Но чтобы окружность действительно касалась всех четырёх сторон (то есть чтобы все стороны были на равном расстоянии от центра окружности), нужно, чтобы сумма расстояний от центра до противоположных сторон была одинаковой, а это возможно только если все стороны равны и углы противоположные (как в любом параллелограмме), но кроме того, углы должны быть такими, чтобы касательная могла быть проведена ко всем сторонам из одной точки.

Именно это выполняется в случае ромба — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а значит, можно вписать окружность. В других параллелограммах, например, в прямоугольнике или произвольном параллелограмме с неравными сторонами, вписать окружность нельзя, так как она не будет касаться всех сторон.

Итак, окружность можно вписать только в ромб, потому что у него:

• все стороны равны (необходимое условие для касания окружности всех сторон),

• противоположные стороны параллельны (как в любом параллелограмме),

• сумма длин противоположных сторон равна (автоматически выполняется в любом параллелограмме).

Это делает ромб единственным видом параллелограмма, в который можно вписать окружность.